بخش‌پذیری و اعداد اول
اهداف یادگیری
- با استفاده از بخش‌پذیری تشخیص دهید چه وقتی یک عدد صحیح مقسوم‌علیه یا مضرب عدد دیگری است.
- قاعده‌های بخش‌پذیری بر ۲، ۳، ۵، ۹ و ۱۰ را به کار ببرید.
- اعداد اول و مرکب را تشخیص دهید و با غربال اراتستن اعداد اول را پیدا کنید.
- عدد صحیح را به حاصل‌ضرب اعداد اول بنویسید و توضیح دهید چرا بی‌نهایت عدد اول وجود دارد.
بخش‌پذیری
عدد صحیح \(a\neq 0\) عدد صحیح \(b\) را می‌شمارد و می‌نویسیم \(a\mid b\)، اگر عدد صحیحی مانند \(k\) باشد که \(b=ak\). در این حالت \(a\) یک مقسوم‌علیه (یا شمارنده) \(b\) و \(b\) یک مضرب \(a\) است.
\(3\mid 12\) زیرا \(12=3\cdot 4\)، اما \(5\nmid 12\).
هر عدد صحیح ناصفر، صفر را می‌شمارد (چون \(0=a\cdot 0\)) و ۱ هر عدد صحیح را می‌شمارد.
اگر \(a\mid b\) و \(a\mid c\)، آنگاه \(a\mid (b+c)\) و \(a\mid (b-c)\).
نمایش اثبات
بنویسید \(b=ak\) و \(c=am\). آنگاه \(b+c=a(k+m)\) و \(b-c=a(k-m)\) و \(k+m\) و \(k-m\) صحیح‌اند. ∎
نشان دهید ۶ به ازای هر عدد صحیح \(n\)، عدد \(12n+18\) را می‌شمارد.
تجزیه می‌کنیم: \(12n+18=6(2n+3)\) و \(2n+3\) عددی صحیح است.
قاعده‌های بخش‌پذیری
بر ۲: رقم یکان زوج باشد. بر ۵: رقم یکان ۰ یا ۵ باشد. بر ۱۰: رقم یکان ۰ باشد.
بر ۳ (یا ۹): مجموع ارقام بر ۳ (یا ۹) بخش‌پذیر باشد.
آیا ۷۲۸۱ بر ۳ یا بر ۹ بخش‌پذیر است؟
مجموع ارقام \(7+2+8+1=18\) است. چون ۱۸ بر ۳ و بر ۹ بخش‌پذیر است، ۷۲۸۱ هم بر هر دو بخش‌پذیر است.
اعداد اول
عدد اول عدد صحیح \(p>1\) است که تنها مقسوم‌علیه‌های مثبتش ۱ و خود \(p\) باشند. عدد صحیح \(n>1\) که اول نباشد، مرکب نام دارد. عدد ۱ نه اول است و نه مرکب.
اعداد \(2,3,5,7,11,13\) اول‌اند و \(4,6,8,9,10,12\) مرکب‌اند. عدد ۲ تنها عدد اول زوج است.
غربال اراتستن
دکمهٔ «عدد اول بعدی» را بزنید تا مضرب‌های هر عدد اول به‌ترتیب خط بخورند. عددهایی که تا پایان می‌مانند اول‌اند.
هر عدد مرکب \(n\) یک شمارندهٔ اول \(p\) دارد که \(p\le\sqrt n\).
نمایش اثبات
بنویسید \(n=ab\) با \(1<a\le b<n\). آنگاه \(a^2\le ab=n\) و پس \(a\le\sqrt n\). هر شمارندهٔ اول \(a\) شمارندهٔ \(n\) هم هست و از \(a\) بزرگ‌تر نیست. ∎
آیا ۹۷ اول است؟
چون \(\sqrt{97}<10\)، کافی است اعداد اول ۲، ۳، ۵ و ۷ را امتحان کنیم. هیچ‌کدام ۹۷ را نمی‌شمارند: ۹۷ فرد است، مجموع ارقامش ۱۶ بر ۳ بخش‌پذیر نیست، به ۰ یا ۵ ختم نمی‌شود و \(7\cdot 13=91\) و \(7\cdot 14=98\). پس ۹۷ اول است.
تجزیه به عامل‌های اول
هر عدد صحیح \(n>1\) را می‌توان به صورت حاصل‌ضرب اعداد اول نوشت و این نمایش، جز در ترتیب عامل‌ها، یکتا است.
نمایش اثبات
وجود، با استقرای قوی. اگر \(n\) اول باشد، حاصل‌ضرب یک عدد اول است. در غیر این صورت \(n=ab\) با \(1<a,b<n\)؛ طبق فرض استقرا، هر دو عدد \(a\) و \(b\) حاصل‌ضرب اعداد اول‌اند و پس \(n\) هم چنین است. یکتایی بخش عمیق‌تر است و بر این واقعیت تکیه دارد که اگر عدد اولی حاصل‌ضرب \(ab\) را بشمارد، باید \(a\) یا \(b\) را بشمارد.
۳۶۰ را به عامل‌های اول تجزیه کنید.
\[360=2\cdot 180=2\cdot 2\cdot 90=2\cdot 2\cdot 2\cdot 45=2^3\cdot 3^2\cdot 5\]
تعداد اعداد اول بی‌نهایت است.
نمایش اثبات
فرض کنید فقط تعداد متناهی عدد اول \(p_1,p_2,\ldots,p_m\) وجود داشته باشد. قرار دهید \(N=p_1p_2\cdots p_m+1\). عدد \(N>1\) یک شمارندهٔ اول \(q\) دارد. چون \(q\) یکی از \(p_i\)ها است، \(p_1\cdots p_m\) را می‌شمارد و پس \(N-p_1\cdots p_m=1\) را هم می‌شمارد که ناممکن است. بنابراین هیچ فهرست متناهی شامل همهٔ اعداد اول نیست. ∎
اعداد اول کم‌کم کمتر می‌شوند اما هرگز تمام نمی‌شوند: تا ۱۰۰ تعداد ۲۵ عدد اول و تا ۲۰۰ تعداد ۴۶ عدد اول وجود دارد.
تمرین‌ها
همهٔ مقسوم‌علیه‌های مثبت ۳۶ را بنویسید.
نمایش پاسخ
\(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 9,\ 12,\ 18,\ 36\)
با قاعدهٔ مجموع ارقام تعیین کنید آیا ۴۵۲۷ بر ۹ بخش‌پذیر است.
نمایش پاسخ
مجموع ارقام \(4+5+2+7=18\) است که بر ۹ بخش‌پذیر است، پس \(9\mid 4527\) (در واقع \(4527=9\cdot 503\)).
ثابت کنید اگر \(a\mid b\) و \(b\mid c\)، آنگاه \(a\mid c\).
نمایش پاسخ
بنویسید \(b=ak\) و \(c=bm\). آنگاه \(c=(ak)m=a(km)\) و \(km\) عددی صحیح است.
آیا ۹۱ اول است؟
نمایش پاسخ
چون \(\sqrt{91}<10\)، اعداد اول تا ۷ را امتحان می‌کنیم. داریم \(91=7\cdot 13\)، پس ۹۱ مرکب است.
عدد ۵۰۴ را به صورت حاصل‌ضرب اعداد اول بنویسید.
نمایش پاسخ
\(504=2\cdot 252=2^2\cdot 126=2^3\cdot 63=2^3\cdot 3^2\cdot 7\)
عدد اولی مانند \(p\) بیابید که \(p+2\) و \(p+4\) هم اول باشند. چرا فقط یک \(p\) با این ویژگی وجود دارد؟
نمایش پاسخ
عدد \(p=3\) را بگیرید: اعداد ۳ و ۵ و ۷ همگی اول‌اند. برای هر \(p\)، سه عدد \(p,\ p+2,\ p+4\) در تقسیم بر ۳ سه باقی‌مانده متفاوت دارند، پس دقیقاً یکی از آن‌ها مضرب ۳ است. عدد اولی که مضرب ۳ باشد برابر ۳ است و \(p+2=3\) به \(p=1\) می‌انجامد که اول نیست؛ پس \(p=3\).
جمع‌بندی
- عدد صحیح a عدد b را می‌شمارد وقتی b = ak؛ مجموع و تفاضل مضرب‌های a هم مضرب a است.
- قاعده‌های ارقام، بخش‌پذیری بر ۲، ۳، ۵، ۹ و ۱۰ را سریع آزمایش می‌کنند.
- عدد مرکب n یک شمارندهٔ اول حداکثر برابر \(\sqrt n\) دارد، پس امتحان اعداد اول تا \(\sqrt n\) اول بودن را تعیین می‌کند.
- هر عدد صحیح بزرگ‌تر از ۱ به‌صورت یکتا به اعداد اول تجزیه می‌شود و بی‌نهایت عدد اول وجود دارد.