نقطه، خط و زاویه
اهداف یادگیری
- نقطه، خط، نیم‌خط و پاره‌خط را توصیف کنید.
- زاویه‌ها را دسته‌بندی کنید و متمم و مکمل آن‌ها را بیابید.
- ثابت کنید زاویه‌های متقابل به رأس برابرند.
- با خطوط موازی و خط مورب، زاویه‌های برابر و مکمل را پیدا کنید.
اشیای پایه
هندسه از چند مفهوم پایه آغاز می‌شود. نقطه مکان دارد اما اندازه ندارد. خط راست است و از دو طرف تا بی‌نهایت ادامه می‌یابد. صفحه سطحی تخت است که تا بی‌نهایت گسترده است؛ در این درس همهٔ شکل‌ها در یک صفحه‌اند.
پاره‌خط \(AB\) بخشی از یک خط است که بین نقطه‌های \(A\) و \(B\) قرار دارد و طول آن را با \(|AB|\) نشان می‌دهیم. نیم‌خط \(AB\) از \(A\) شروع می‌شود و از \(B\) می‌گذرد. دو خط در یک صفحه موازی هستند اگر هرگز یکدیگر را قطع نکنند.
زاویه از دو نیم‌خط با آغاز مشترک پدید می‌آید؛ این نقطهٔ مشترک رأس زاویه نام دارد. زاویه را با درجه می‌سنجیم؛ یک دور کامل \(360^\circ\) است.
اندازه‌گیری و دسته‌بندی زاویه‌ها
نقطه را بکشید یا از لغزنده استفاده کنید تا نیم‌خط دوم بچرخد. اندازهٔ زاویه، نوع آن، متمم و مکملش نمایش داده می‌شود.
زاویه‌ای به اندازهٔ \(\theta\) تند است اگر \(0^\circ<\theta<90^\circ\)، قائمه است اگر \(\theta=90^\circ\)، باز است اگر \(90^\circ<\theta<180^\circ\)، نیم‌صفحه است اگر \(\theta=180^\circ\) و بزرگ‌تر از نیم‌صفحه است اگر \(180^\circ<\theta<360^\circ\).
دو زاویه متمم یکدیگرند اگر مجموع اندازه‌هایشان \(90^\circ\) باشد و مکمل یکدیگرند اگر مجموعشان \(180^\circ\) باشد.
زاویه‌ای بیابید که دو برابر متمم خودش باشد.
زاویه را \(\theta\) بگیرید. آنگاه \(\theta=2(90^\circ-\theta)\) و پس \(3\theta=180^\circ\) یعنی \(\theta=60^\circ\).
زاویه‌های متقابل به رأس
وقتی دو خط یکدیگر را قطع می‌کنند، زاویه‌های روبه‌رو (متقابل به رأس) برابرند.
نمایش اثبات
دو زاویهٔ مجاور را \(\alpha\) و \(\beta\) بنامید؛ این دو با هم نیم‌صفحه می‌سازند، پس \(\alpha+\beta=180^\circ\). زاویهٔ \(\gamma\) که با \(\alpha\) متقابل به رأس است، با \(\beta\) هم مجاور است، پس \(\beta+\gamma=180^\circ\). در نتیجه \(\alpha=180^\circ-\beta=\gamma\). ∎
خطوط موازی و خط مورب
خطی که دو خط دیگر را قطع کند، خط مورب نام دارد. زاویه را تغییر دهید و یک نوع جفت‌زاویه را انتخاب کنید تا زاویه‌های مشخص‌شده را ببینید.
اگر دو خط موازی را یک خط مورب قطع کند، آنگاه زاویه‌های متناظر برابرند، زاویه‌های متبادل داخلی برابرند و زاویه‌های داخلی هم‌طرف مجموعشان \(180^\circ\) است.
در دستگاه اقلیدس، برابری زاویه‌های متناظر برای خطوط موازی هم‌ارز اصل توازی است، پس آن را نقطهٔ آغاز می‌پذیریم. دو حکم دیگر از آن و از زاویه‌های متقابل به رأس نتیجه می‌شوند.
تمرین‌ها
متمم و مکمل زاویهٔ \(52^\circ\) را بیابید.
نمایش پاسخ
متمم برابر \(90^\circ-52^\circ=38^\circ\) و مکمل برابر \(180^\circ-52^\circ=128^\circ\) است.
دو زاویهٔ متقابل به رأس \((3x+10)^\circ\) و \((5x-30)^\circ\) اندازه دارند. \(x\) و اندازهٔ زاویه‌ها را بیابید.
نمایش پاسخ
زاویه‌های متقابل به رأس برابرند: \(3x+10=5x-30\) و پس \(x=20\) و هر زاویه \(70^\circ\) است.
دو خط موازی را یک خط مورب قطع کرده است و یکی از هشت زاویه \(75^\circ\) است. هفت زاویهٔ دیگر را بیابید.
نمایش پاسخ
چهار زاویه برابر \(75^\circ\) و چهار زاویهٔ دیگر برابر \(180^\circ-75^\circ=105^\circ\) هستند.
دو زاویهٔ مکمل با هم \(20^\circ\) اختلاف دارند. آن‌ها را بیابید.
نمایش پاسخ
فرض کنید \(x=y+20^\circ\) و \(x+y=180^\circ\). آنگاه \(2y=160^\circ\) و پس \(y=80^\circ\) و \(x=100^\circ\).
زاویه‌ای بیابید که سه برابر مکمل خودش باشد.
نمایش پاسخ
زاویه را \(\theta\) بگیرید: \(\theta=3(180^\circ-\theta)\) و پس \(4\theta=540^\circ\) یعنی \(\theta=135^\circ\).
دو زاویهٔ مجاور مکمل یکدیگرند. ثابت کنید نیمسازهای آن‌ها بر هم عمودند.
نمایش پاسخ
زاویه‌ها را \(2\alpha\) و \(2\beta\) بگیرید که \(2\alpha+2\beta=180^\circ\). نیمسازها با ضلع مشترک در دو طرف آن زاویه‌های \(\alpha\) و \(\beta\) می‌سازند، پس زاویهٔ بین آن‌ها \(\alpha+\beta=90^\circ\) است.
جمع‌بندی
- زاویه‌ها با درجه سنجیده می‌شوند و تند، قائمه، باز، نیم‌صفحه یا بزرگ‌تر از نیم‌صفحه‌اند.
- مجموع دو زاویهٔ متمم \(90^\circ\) و مجموع دو زاویهٔ مکمل \(180^\circ\) است.
- زاویه‌های متقابل به رأس برابرند.
- خطوط موازی با یک خط مورب، زاویه‌های متناظر و متبادل داخلی برابر می‌سازند.