مثلث‌ها
اهداف یادگیری
- مثلث‌ها را بر پایهٔ ضلع‌ها و بر پایهٔ زاویه‌ها دسته‌بندی کنید.
- از مجموع زاویه‌های مثلث و قضیهٔ زاویهٔ خارجی استفاده کنید.
- تشخیص دهید سه طول چه وقتی ضلع‌های یک مثلث‌اند.
- از حالت‌های هم‌نهشتی SSS و SAS و ASA استفاده کنید.
مثلث و انواع آن
مثلث \(ABC\) از سه نقطه که روی یک خط نیستند و سه پاره‌خط واصل آن‌ها پدید می‌آید؛ پاره‌خط‌ها ضلع‌ها و زاویه‌های رأس‌ها زاویه‌های مثلث‌اند.
رأس‌ها را بکشید (یا یکی را انتخاب کنید و با کلیدهای جهت‌دار حرکت دهید). مثلث روی شبکه می‌نشیند. سه زاویه و مجموعشان را ببینید.
بر پایهٔ ضلع‌ها: متساوی‌الاضلاع (سه ضلع برابر)، متساوی‌الساقین (دست‌کم دو ضلع برابر)، مختلف‌الاضلاع (هیچ دو ضلع برابر نیست). بر پایهٔ زاویه‌ها: حاده‌الزوایا (همهٔ زاویه‌ها تند)، قائم‌الزاویه (یک زاویهٔ قائمه)، منفرج‌الزاویه (یک زاویهٔ باز).
مجموع زاویه‌ها
مجموع سه زاویهٔ هر مثلث \(180^\circ\) است.
نمایش اثبات
از \(A\) خطی موازی \(BC\) رسم کنید. زاویه‌هایی که این خط با \(AB\) و \(AC\) می‌سازد با \(\angle B\) و \(\angle C\) برابرند (متبادل داخلی). این دو زاویه همراه \(\angle A\) یک نیم‌صفحه، یعنی \(180^\circ\) را پر می‌کنند. ∎
دو زاویهٔ یک مثلث \(50^\circ\) و \(60^\circ\) است. زاویهٔ سوم را بیابید.
زاویهٔ سوم برابر \(180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ\) است.
هر زاویهٔ خارجی مثلث برابر مجموع دو زاویهٔ داخلی غیرمجاور با آن است.
نمایش اثبات
ضلع \(BC\) را از سمت \(C\) امتداد دهید. زاویهٔ خارجی در \(C\) و \(\angle C\) یک نیم‌صفحه می‌سازند، پس زاویهٔ خارجی \(180^\circ-\angle C\) است. طبق مجموع زاویه‌ها، \(180^\circ-\angle C=\angle A+\angle B\). ∎
نامساوی مثلث
رأس‌ها را حرکت دهید و مجموع دو ضلع را با ضلع سوم مقایسه کنید. سعی کنید سه نقطه را روی یک خط بگذارید.
در هر مثلث، هر ضلع از مجموع دو ضلع دیگر کوتاه‌تر است.
ایدهٔ آن این است که پاره‌خط راست کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه است، پس رفتن مستقیم از \(B\) به \(C\) کوتاه‌تر از رفتن از راه \(A\) است.
آیا ۳ و ۴ و ۸ می‌توانند ضلع‌های یک مثلث باشند؟ ۵ و ۷ و ۹ چطور؟
چون \(3+4=7<8\)، طول‌های ۳ و ۴ و ۸ نمی‌توانند. برای ۵ و ۷ و ۹ داریم \(5+7>9\) و \(5+9>7\) و \(7+9>5\)، پس می‌توانند.
مثلث‌های هم‌نهشت
دو مثلث هم‌نهشت هستند اگر بتوان یکی را روی دیگری قرار داد، به طوری که همهٔ ضلع‌ها و زاویه‌های متناظر برابر شوند.
دو مثلث هم‌نهشت‌اند اگر:
SSS: سه ضلع یکی با سه ضلع دیگری برابر باشد؛
SAS: دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها برابر باشد؛
ASA: دو زاویه و ضلع بین آن‌ها برابر باشد.
برابری زاویه‌ها به تنهایی کافی نیست: دو مثلث متساوی‌الاضلاع کوچک و بزرگ زاویه‌های برابر دارند اما هم‌نهشت نیستند. دو ضلع و یک زاویهٔ غیرمحصور (SSA) هم کافی نیست.
در مثلث متساوی‌الساقین، زاویه‌های روبه‌رو به ضلع‌های برابر، برابرند.
نمایش اثبات
فرض کنید \(AB=AC\). مثلث \(ABC\) را با همان مثلث که به صورت \(ACB\) خوانده می‌شود مقایسه کنید. داریم \(AB=AC\) و \(AC=AB\) و زاویهٔ مشترک \(\angle A\)، پس طبق SAS هم‌نهشت‌اند. از برابری زاویه‌های متناظر \(\angle B=\angle C\) به دست می‌آید. ∎
تمرین‌ها
دو زاویهٔ یک مثلث \(47^\circ\) و \(68^\circ\) است. زاویهٔ سوم را بیابید و مثلث را بر پایهٔ زاویه‌ها دسته‌بندی کنید.
نمایش پاسخ
زاویهٔ سوم \(180^\circ-47^\circ-68^\circ=65^\circ\) است. هر سه زاویه تند است، پس مثلث حاده‌الزوایا است.
یک زاویهٔ خارجی مثلث \(125^\circ\) است و یکی از دو زاویهٔ داخلی غیرمجاور \(50^\circ\) است. زاویهٔ داخلی غیرمجاور دیگر را بیابید.
نمایش پاسخ
زاویهٔ خارجی برابر مجموع دو زاویهٔ داخلی غیرمجاور است، پس زاویهٔ دیگر \(125^\circ-50^\circ=75^\circ\) است.
آیا ۲ و ۳ و ۶ می‌توانند ضلع‌های یک مثلث باشند؟ ۴ و ۵ و ۸ چطور؟
نمایش پاسخ
برای ۲ و ۳ و ۶ خیر، چون \(2+3=5<6\). برای ۴ و ۵ و ۸ بله: \(4+5=9>8\) و دو مجموع دیگر از این هم بزرگ‌ترند.
ثابت کنید هر زاویهٔ مثلث متساوی‌الاضلاع \(60^\circ\) است.
نمایش پاسخ
مثلث متساوی‌الاضلاع از هر جهت متساوی‌الساقین است، پس طبق قضیهٔ زاویه‌های قاعده هر سه زاویه برابرند. مجموعشان \(180^\circ\) است، پس هر کدام \(60^\circ\) است.
در مثلث \(ABC\) داریم \(\angle A=90^\circ\) و \(\angle B=2\angle C\). \(\angle B\) و \(\angle C\) را بیابید.
نمایش پاسخ
داریم \(\angle B+\angle C=90^\circ\) و \(\angle B=2\angle C\)، پس \(3\angle C=90^\circ\). در نتیجه \(\angle C=30^\circ\) و \(\angle B=60^\circ\).
توضیح دهید چرا دو مثلث با سه زاویهٔ برابر لزوماً هم‌نهشت نیستند.
نمایش پاسخ
یک مثلث متساوی‌الاضلاع به ضلع ۱ و دیگری به ضلع ۲ بگیرید. همهٔ زاویه‌هایشان \(60^\circ\) است اما ضلع‌هایشان متفاوت است، پس هم‌نهشت نیستند. زاویه‌های برابر شکل را تعیین می‌کنند، نه اندازه را.
جمع‌بندی
- مثلث‌ها بر پایهٔ ضلع‌ها (متساوی‌الاضلاع، متساوی‌الساقین، مختلف‌الاضلاع) و بر پایهٔ زاویه‌ها (حاده، قائم، منفرج) دسته‌بندی می‌شوند.
- مجموع زاویه‌های مثلث \(180^\circ\) است و زاویهٔ خارجی برابر مجموع دو زاویهٔ داخلی غیرمجاور است.
- هر ضلع از مجموع دو ضلع دیگر کوتاه‌تر است.
- SSS و SAS و ASA هم‌نهشتی را ثابت می‌کنند؛ برابری زاویه‌ها به تنهایی کافی نیست.