قضیهٔ فیثاغورس
اهداف یادگیری
- قضیهٔ فیثاغورس را بیان و اثبات کنید.
- با آن ضلع‌های مجهول و فاصله‌ها را بیابید.
- با عکس قضیه مثلث‌های قائم‌الزاویه را تشخیص دهید.
- از روی مربع ضلع‌ها، مثلث‌های حاده‌الزوایا و منفرج‌الزاویه را از هم تشخیص دهید.
مثلث قائم‌الزاویه
در مثلث قائم‌الزاویه ضلع روبه‌رو به زاویهٔ قائمه وتر نام دارد و بلندترین ضلع است. دو ضلع دیگر ساق‌ها هستند.
در مثلث قائم‌الزاویه‌ای با ساق‌های \(a,b\) و وتر \(c\):
\[a^2+b^2=c^2\]
نمایش اثبات
چهار نسخه از مثلث را درون مربعی به ضلع \(a+b\) بچینید، طوری که چهار وتر در وسط مربعی کج به ضلع \(c\) بسازند. مساحت مربع بزرگ \((a+b)^2\) است. این مربع از چهار مثلث با مساحت \(\frac{ab}{2}\) و مربع وسطی با مساحت \(c^2\) تشکیل شده است:
\[(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2\]
با بسط، \(a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\) و پس \(a^2+b^2=c^2\). ∎
وتر مثلث قائم‌الزاویه‌ای با ساق‌های ۶ و ۸ را بیابید.
\[c^2=6^2+8^2=36+64=100,\qquad c=10\]
وتر ۱۳ و یک ساق ۵ است. ساق دیگر را بیابید.
\[b^2=13^2-5^2=169-25=144,\qquad b=12\]
سه عدد صحیح با \(a^2+b^2=c^2\) را سه‌تایی فیثاغورسی می‌نامند: \((3,4,5)\) و \((5,12,13)\) و \((8,15,17)\) و \((7,24,25)\).
روی شبکه بررسی کنید
رأس‌ها را بکشید. صفحه مربع ضلع‌ها را فهرست می‌کند و مجموع دو مربع کوچک‌تر را با مربع بزرگ‌ترین ضلع مقایسه می‌کند. آیا می‌توانید مثلث قائم‌الزاویهٔ دیگری بسازید؟
اگر ضلع‌های یک مثلث در \(a^2+b^2=c^2\) صدق کنند، آنگاه زاویهٔ روبه‌رو به \(c\) قائمه است.
نمایش اثبات
مثلث قائم‌الزاویه‌ای با ساق‌های \(a\) و \(b\) بسازید. طبق قضیهٔ فیثاغورس وتر آن در \(h^2=a^2+b^2=c^2\) صدق می‌کند، پس \(h=c\). این دو مثلث سه ضلع برابر دارند، پس طبق SSS هم‌نهشت‌اند و زاویهٔ روبه‌رو به \(c\) قائمه است. ∎
فرض کنید \(c\) بلندترین ضلع باشد. اگر \(a^2+b^2>c^2\) مثلث حاده‌الزوایا و اگر \(a^2+b^2<c^2\) منفرج‌الزاویه است. ابزار شبکه این را با نشانه‌های > و < نشان می‌دهد.
آیا مثلثی با ضلع‌های ۷ و ۲۴ و ۲۵ قائم‌الزاویه است؟ مثلثی با ضلع‌های ۶ و ۷ و ۱۰ چطور؟
داریم \(7^2+24^2=49+576=625=25^2\)، پس مثلث ۷ و ۲۴ و ۲۵ قائم‌الزاویه است. برای ۶ و ۷ و ۱۰: \(6^2+7^2=85<100=10^2\)، پس آن مثلث منفرج‌الزاویه است.
کاربردها
فاصلهٔ دو نقطهٔ \((1,2)\) و \((7,10)\) را بیابید.
اختلاف افقی ۶ و اختلاف عمودی ۸ است، پس فاصله \(\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\) است.
نردبانی ۵ متری تا ارتفاع ۴ متری دیوار می‌رسد. پای نردبان چقدر از دیوار فاصله دارد؟ طبق قضیه \(d^2=5^2-4^2=9\) و پس \(d=3\) متر.
تمرین‌ها
وتر مثلث قائم‌الزاویه‌ای با ساق‌های ۹ و ۱۲ را بیابید.
نمایش پاسخ
\(c^2=81+144=225\) و پس \(c=15\).
وتر یک مثلث قائم‌الزاویه ۱۷ و یک ساق آن ۸ است. ساق دیگر را بیابید.
نمایش پاسخ
\(b^2=17^2-8^2=289-64=225\) و پس \(b=15\).
آیا مثلثی با ضلع‌های ۸ و ۱۵ و ۱۷ قائم‌الزاویه است؟
نمایش پاسخ
بله: \(8^2+15^2=64+225=289=17^2\).
فاصلهٔ دو نقطهٔ \((-2,3)\) و \((4,-5)\) را بیابید.
نمایش پاسخ
اختلاف‌ها ۶ و ۸ است، پس فاصله \(\sqrt{36+64}=10\) است.
نشان دهید قطر مربعی به ضلع \(s\) برابر \(s\sqrt2\) است.
نمایش پاسخ
قطر وتر مثلث قائم‌الزاویه‌ای است که هر دو ساقش \(s\) است، پس \(d^2=s^2+s^2=2s^2\) و \(d=s\sqrt2\).
ساق‌های یک مثلث قائم‌الزاویه \(x\) و \(x+1\) و وتر آن ۵ است. \(x\) را بیابید.
نمایش پاسخ
از \(x^2+(x+1)^2=25\) نتیجه می‌شود \(2x^2+2x-24=0\) یعنی \(x^2+x-12=0\) و پس \((x+4)(x-3)=0\). جواب مثبت \(x=3\) است.
جمع‌بندی
- در مثلث قائم‌الزاویه \(a^2+b^2=c^2\) که \(c\) وتر است.
- عکس قضیه هم درست است: اگر \(a^2+b^2=c^2\) باشد، مثلث قائم‌الزاویه است.
- اگر \(c\) بلندترین ضلع باشد، \(a^2+b^2>c^2\) یعنی حاده‌الزوایا و \(a^2+b^2<c^2\) یعنی منفرج‌الزاویه.
- قضیه فاصلهٔ دو نقطه و قطر مستطیل را به دست می‌دهد.