کار با کسرها
اهداف یادگیری
- کسرهای با مخرج‌های متفاوت را جمع و تفریق کنید.
- عدد مخلوط و کسر بزرگ‌تر از یک را به هم تبدیل کنید.
- کسرها را ضرب و تقسیم کنید.
- مسئله‌های کلامی کسری را حل کنید.
جمع و تفریق کسرها
کسرها را فقط وقتی می‌توان جمع کرد که مخرج یکسان داشته باشند. اگر ندارند، آن‌ها را با مخرج مشترک بنویسید، مثلاً ک.م.م دو مخرج.
حاصل \(\frac34+\frac56\) را بیابید.
ک.م.م ۴ و ۶ برابر ۱۲ است، پس \(\frac34+\frac56=\frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{19}{12}\).
حاصل \(\frac78-\frac13\) را بیابید.
ک.م.م ۸ و ۳ برابر ۲۴ است: \(\frac{21}{24}-\frac{8}{24}=\frac{13}{24}\).
اعداد مخلوط
عدد مخلوط مانند \(2\frac35\) یعنی \(2+\frac35\). کسری که صورتش از مخرجش کوچک‌تر نباشد، کسر بزرگ‌تر یا مساوی یک است.
\(2\frac35=\frac{2\cdot 5+3}{5}=\frac{13}{5}\)
برعکس، \(\frac{17}{4}=4\frac14\)، زیرا \(17=4\cdot 4+1\).
ضرب و تقسیم کسرها
\[\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\]
ابتدا عامل‌های مشترک را ساده کنید تا عددها کوچک بمانند.
حاصل \(\frac23\cdot\frac{9}{10}\) را بیابید.
\[\frac23\cdot\frac{9}{10}=\frac{2\cdot 9}{3\cdot 10}=\frac{18}{30}=\frac35\]
\(\frac34\) از ۲۰ برابر \(\frac34\cdot 20=15\) است.
وارون کسر \(\frac{c}{d}\) برابر \(\frac{d}{c}\) است (برای \(c\neq 0\)). تقسیم بر یک کسر یعنی ضرب در وارون آن: \(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\).
حاصل \(\frac35\div\frac{9}{10}\) را بیابید.
\[\frac35\div\frac{9}{10}=\frac35\cdot\frac{10}{9}=\frac{30}{45}=\frac23\]
تقسیم بر \(\frac12\) می‌پرسد چند نیم در یک عدد جا می‌گیرد: \(3\div\frac12=6\) که برابر \(3\cdot 2\) است.
کسرها روی محور اعداد
با لغزنده‌ها ابتدا \(\frac58\) و سپس \(\frac23\) را (صورت ۲ و مخرج ۳) بگذارید. اعشار آن‌ها را مقایسه کنید: کدام بیشتر به راست است؟
یک دستور پخت \(2\frac12\) پیمانه آرد می‌خواهد. برای \(\frac34\) آن دستور چقدر آرد لازم است؟
\[2\frac12\cdot\frac34=\frac52\cdot\frac34=\frac{15}{8}=1\frac78\]
پس \(1\frac78\) پیمانه آرد لازم است.
تمرین‌ها
حاصل \(\frac25+\frac34\) را بیابید.
نمایش پاسخ
\(\frac{8}{20}+\frac{15}{20}=\frac{23}{20}=1\frac{3}{20}\)
حاصل \(5\frac13-2\frac34\) را بیابید.
نمایش پاسخ
\(\frac{16}{3}-\frac{11}{4}=\frac{64}{12}-\frac{33}{12}=\frac{31}{12}=2\frac{7}{12}\)
حاصل \(\frac49\cdot\frac38\) را بیابید.
نمایش پاسخ
\(\frac{4\cdot 3}{9\cdot 8}=\frac{12}{72}=\frac16\)
حاصل \(\frac{7}{12}\div\frac56\) را بیابید.
نمایش پاسخ
\(\frac{7}{12}\cdot\frac65=\frac{42}{60}=\frac{7}{10}\)
یک مخزن \(\frac34\) پر است. دو سوم آب مصرف می‌شود. چه کسری از کل مخزن مصرف شده است؟
نمایش پاسخ
\(\frac23\) از \(\frac34\) برابر \(\frac23\cdot\frac34=\frac{6}{12}=\frac12\) مخزن است.
کدام بزرگ‌تر است: \(\frac79\) یا \(\frac56\)؟
نمایش پاسخ
ضرب متقاطع: \(7\cdot 6=42\) و \(5\cdot 9=45\). چون ۴۲ کوچک‌تر از ۴۵ است، \(\frac79<\frac56\).
جمع‌بندی
- برای جمع و تفریق کسرها از مخرج مشترک استفاده کنید.
- عدد مخلوط و کسر بزرگ‌تر از یک، یک عدد را نشان می‌دهند.
- برای ضرب کسرها صورت‌ها و مخرج‌ها را ضرب کنید؛ برای تقسیم، در وارون ضرب کنید.
- با ساده کردن عامل‌های مشترک از همان ابتدا، محاسبه را کوتاه کنید.