معادله‌های خطی
اهداف یادگیری
- معادله‌های خطی یک‌مرحله‌ای و چندمرحله‌ای را حل کنید و جواب را وارسی کنید.
- معادله‌هایی را که مجهول در دو طرف دارند، پرانتز دارند یا کسری‌اند حل کنید.
- معادله‌های بدون جواب و با بی‌شمار جواب را تشخیص دهید.
- مسئله‌های کلامی را به معادله تبدیل کنید و جواب را با نمودار ارتباط دهید.
معادله و جواب
معادله برابری دو عبارت است. جواب مقداری از مجهول است که معادله را درست کند. معادلهٔ خطی یک مجهولی به شکل \(ax+b=c\) با \(a\neq 0\) است.
معادله را مانند یک ترازوی متعادل در نظر بگیرید. هر کاری با یک طرف می‌کنید باید با طرف دیگر هم بکنید: افزودن یا کاستن یک عدد یکسان، یا ضرب و تقسیم در یک عدد ناصفر یکسان.
اگر \(a\neq 0\)، معادلهٔ \(ax+b=c\) دقیقاً یک جواب دارد: \(x=\frac{c-b}{a}\).
نمایش اثبات
با کم کردن \(b\) از دو طرف، \(ax=c-b\) به دست می‌آید. تقسیم دو طرف بر \(a\neq 0\) نتیجه می‌دهد \(x=\frac{c-b}{a}\). هر مرحله برگشت‌پذیر است، پس این مقدار جواب است و تنها جواب است. ∎
امتحان کنید و نمودار را ببینید
مقدارهای \(a\) و \(b\) و \(c\) را تغییر دهید. مراحل حل \(ax+b=c\) نمایش داده می‌شود. در نمودار، خط آبی \(y=ax+b\) و خط چین \(y=c\) است و نقطهٔ سبز محل برخورد آن‌ها است که طول آن جواب معادله است.
مثال‌های حل‌شده
معادلهٔ \(3x-7=11\) را حل کنید.
\[3x=18,\qquad x=6\]
وارسی: \(3\cdot 6-7=11\).
معادلهٔ \(5x+2=3x+10\) را حل کنید.
از دو طرف \(3x\) و ۲ را کم کنید: \(2x=8\) و پس \(x=4\). وارسی: \(5\cdot 4+2=22=3\cdot 4+10\).
معادلهٔ \(2(x+3)=14\) را حل کنید.
بر ۲ تقسیم کنید: \(x+3=7\) و پس \(x=4\). (یا پرانتز را باز کنید: \(2x+6=14\).)
معادلهٔ \(\frac{x}{3}+2=5\) را حل کنید.
از دو طرف ۲ کم کنید: \(\frac{x}{3}=3\). در ۳ ضرب کنید: \(x=9\).
برخی معادله‌ها رفتار متفاوتی دارند. \(2x+1=2x+5\) به \(1=5\) می‌رسد که به ازای هر \(x\) نادرست است: جواب ندارد. \(3(x+1)=3x+3\) به \(3=3\) می‌رسد که به ازای هر \(x\) درست است: بی‌شمار جواب دارد.
در حل‌کنندهٔ بالا \(a=0\) بگذارید تا هر دو حالت را ببینید.
مسئله‌های کلامی
عددی را سه برابر می‌کنیم و با ۵ جمع می‌کنیم و ۲۶ به دست می‌آید. آن عدد را بیابید.
عدد را \(x\) بگیرید. آنگاه \(3x+5=26\) و پس \(3x=21\) یعنی \(x=7\).
علی ۴ سال از سارا بزرگ‌تر است و مجموع سن آن‌ها ۲۸ است. سن هر دو را بیابید.
سن سارا را \(s\) بگیرید. آنگاه \(s+(s+4)=28\) و پس \(2s=24\) یعنی \(s=12\) و علی ۱۶ ساله است.
تمرین‌ها
معادلهٔ \(x+9=17\) را حل کنید.
نمایش پاسخ
\(x=17-9=8\)
معادلهٔ \(4x-3=21\) را حل کنید.
نمایش پاسخ
به دو طرف ۳ اضافه کنید: \(4x=24\) و پس \(x=6\).
معادلهٔ \(7x-5=4x+16\) را حل کنید.
نمایش پاسخ
از دو طرف \(4x\) را کم و ۵ را اضافه کنید: \(3x=21\) و پس \(x=7\). وارسی: \(44=44\).
معادلهٔ \(3(2x-1)=15\) را حل کنید.
نمایش پاسخ
بر ۳ تقسیم کنید: \(2x-1=5\) و پس \(2x=6\) یعنی \(x=3\).
معادلهٔ \(\frac{x+1}{2}=5\) را حل کنید.
نمایش پاسخ
در ۲ ضرب کنید: \(x+1=10\) و پس \(x=9\).
محیط یک مستطیل ۳۸ است و طول آن ۳ واحد بیشتر از عرض آن است. اضلاع را بیابید.
نمایش پاسخ
عرض را \(w\) بگیرید. آنگاه \(2(w+w+3)=38\) و پس \(4w+6=38\) یعنی \(w=8\) و طول ۱۱ است.
معادلهٔ \(4x+2=4x+7\) چند جواب دارد؟
نمایش پاسخ
با کم کردن \(4x\) به \(2=7\) می‌رسیم که نادرست است، پس جواب ندارد.
جمع‌بندی
- برای حفظ تعادل معادله، یک عمل یکسان را روی دو طرف انجام دهید.
- معادلهٔ \(ax+b=c\) با \(a\neq 0\) تنها یک جواب دارد: \(x=\frac{c-b}{a}\).
- جواب را همیشه با جایگذاری وارسی کنید.
- برخی معادله‌ها جواب ندارند و برخی به ازای هر \(x\) درست‌اند.