نسبت و تناسب
اهداف یادگیری
- نسبت‌ها را بنویسید، ساده کنید و مقایسه کنید.
- تناسب‌ها را با ضرب طرفین در وسطین حل کنید.
- یک مقدار را به نسبتی معلوم تقسیم کنید.
- از نرخ واحد، تناسب مستقیم و مقیاس نقشه استفاده کنید.
نسبت
نسبت \(a:b\) دو مقدار را با هم مقایسه می‌کند و همان مقایسهٔ کسر \(\frac ab\) است. تقسیم هر دو جزء بر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترکشان، ساده‌ترین شکل را می‌دهد.
لغزنده‌ها را حرکت دهید. نقطه‌ها دو مقدار را نشان می‌دهند و صفحه ساده‌ترین شکل و نسبت هم‌ارزی را که با ضرب هر دو جزء در ضریب به دست می‌آید می‌دهد.
نسبت \(18:24\) را ساده کنید.
ب.م.م ۱۸ و ۲۴ برابر ۶ است، پس \(18:24=3:4\).
تناسب
تناسب برابری دو نسبت است: \(\frac ab=\frac cd\).
اگر \(b,d\neq 0\)، آنگاه \(\frac ab=\frac cd\) دقیقاً وقتی برقرار است که \(ad=bc\).
نمایش اثبات
دو طرف \(\frac ab=\frac cd\) را در \(bd\) ضرب کنید تا \(ad=bc\) به دست آید. تقسیم دو طرف بر \(bd\) همین مرحله را برعکس می‌کند. ∎
معادلهٔ \(\frac35=\frac{x}{20}\) را حل کنید.
\(5x=3\cdot 20=60\) و پس \(x=12\).
عدد ۵۶ را به نسبت \(3:5\) تقسیم کنید.
در کل \(3+5=8\) سهم داریم و هر سهم \(56\div 8=7\) است. سهم‌ها \(3\cdot 7=21\) و \(5\cdot 7=35\) هستند.
نرخ و تناسب مستقیم
قیمت ۵ دفتر ۱۲٫۵۰ است. قیمت یک دفتر چقدر است و قیمت ۸ دفتر چقدر؟
قیمت یک دفتر \(12.50\div 5=2.50\) است، پس ۸ دفتر \(8\cdot 2.50=20\) قیمت دارد.
دو کمیت متناسب مستقیم هستند اگر نسبتشان ثابت باشد: \(\frac yx=k\) یعنی \(y=kx\). عدد \(k\) ضریب تناسب نام دارد.
خودرویی در ۲ ساعت ۱۵۰ کیلومتر می‌رود. با همین سرعت در ۵ ساعت چقدر راه می‌رود؟
سرعت \(150\div 2=75\) کیلومتر بر ساعت است، پس مسافت \(75\cdot 5=375\) کیلومتر است.
مقیاس یک نقشه \(1:50000\) است. فاصلهٔ دو شهر روی نقشه ۳ سانتی‌متر است. فاصلهٔ واقعی چقدر است؟
فاصلهٔ واقعی \(3\cdot 50000=150000\) سانتی‌متر \(=1.5\) کیلومتر است.
دو کمیت متناسب معکوس‌اند اگر حاصل‌ضربشان ثابت باشد. اگر ۶ کارگر ۸ روز وقت لازم داشته باشند، ۴ کارگر \(\frac{6\cdot 8}{4}=12\) روز وقت لازم دارند.
تمرین‌ها
نسبت \(45:60\) را ساده کنید.
نمایش پاسخ
ب.م.م برابر ۱۵ است، پس \(45:60=3:4\).
معادلهٔ \(\frac{7}{x}=\frac{21}{15}\) را حل کنید.
نمایش پاسخ
با ضرب طرفین در وسطین، \(21x=7\cdot 15=105\) و پس \(x=5\).
رنگی از آبی و زرد به نسبت \(2:3\) مخلوط می‌شود. برای ۱۵ لیتر از هر کدام چقدر لازم است؟
نمایش پاسخ
در کل ۵ سهم داریم و هر سهم ۳ لیتر است: ۶ لیتر آبی و ۹ لیتر زرد.
آیا ۴ خودکار به قیمت ۶ و ۱۰ خودکار به قیمت ۱۵ متناسب مستقیم‌اند؟
نمایش پاسخ
\(\frac64=1.5\) و \(\frac{15}{10}=1.5\)، پس بله: قیمت هر خودکار ۱٫۵ است.
روی نقشه‌ای با مقیاس \(1:200000\) فاصلهٔ دو شهر ۴٫۵ سانتی‌متر است. فاصلهٔ واقعی را بیابید.
نمایش پاسخ
\(4.5\cdot 200000=900000\) سانتی‌متر \(=9\) کیلومتر.
۵ ماشین کاری را در ۱۲ ساعت تمام می‌کنند. ۸ ماشین چند ساعت وقت لازم دارند؟
نمایش پاسخ
کل کار \(5\cdot 12=60\) ماشین-ساعت است، پس ۸ ماشین به \(60\div 8=7.5\) ساعت نیاز دارند.
جمع‌بندی
- نسبت دو مقدار را مقایسه می‌کند و مانند کسر ساده می‌شود.
- تناسب برابری دو نسبت است و با ضرب طرفین در وسطین حل می‌شود.
- تناسب مستقیم یعنی نسبت ثابت و تناسب معکوس یعنی حاصل‌ضرب ثابت.
- نرخ واحد و مقیاس نقشه نمونه‌هایی روزمره از تناسب‌اند.