اعداد گویا
اهداف یادگیری
- عدد گویا را تعریف کنید و آن را در شکل‌های مختلف تشخیص دهید.
- اعداد گویا را روی محور اعداد مشخص کنید.
- توضیح دهید چرا نمایش اعشاری عدد گویا پایان می‌یابد یا تکرار می‌شود.
- نشان دهید بین هر دو عدد گویا، عدد گویای دیگری وجود دارد.
عددی گویا است که بتوان آن را به شکل \(\frac{a}{b}\) نوشت، به‌طوری که \(a\) و \(b\) عدد صحیح باشند و \(b\neq 0\). مجموعهٔ اعداد گویا را با \(\mathbb{Q}\) نشان می‌دهیم.
هر یک از اعداد زیر گویا است:
\[7=\frac{7}{1},\qquad -\frac{5}{3},\qquad 0.75=\frac{3}{4}\]
کسرهای هم‌ارز
کسرهای متفاوت می‌توانند یک عدد را نشان دهند. ضرب صورت و مخرج در یک عدد صحیح ناصفر، مقدار کسر را تغییر نمی‌دهد:
صورت و مخرج را بر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترکشان، یعنی ۶، تقسیم می‌کنیم: \(\frac{18}{24}=\frac{3}{4}\). کسر وقتی ساده‌شده است که صورت و مخرج جز ۱ عامل مشترکی نداشته باشند.
مخرج را مثبت نگه دارید: \(\frac{3}{-4}\) را به شکل \(-\frac{3}{4}\) بنویسید.
روی محور اعداد ببینید
مقایسهٔ اعداد گویا
از ضرب متقاطع استفاده کنید. برای مخرج‌های مثبت \(b,d\):
کدام بزرگ‌تر است: \(\frac35\) یا \(\frac47\)؟ حاصل \(3\cdot 7=21\) را با \(5\cdot 4=20\) مقایسه می‌کنیم. چون ۲۱ بزرگ‌تر از ۲۰ است، \(\frac35>\frac47\).
جمع اعداد گویا
\[\frac23+\frac34=\frac{2\cdot 4+3\cdot 3}{3\cdot 4}=\frac{17}{12}\]
اگر \(r<s\) دو عدد گویا باشند، آنگاه \(\dfrac{r+s}{2}\) عددی گویا است که به‌طور اکید بین آن‌ها قرار دارد.
نمایش اثبات
از \(r<s\) نتیجه می‌شود \(2r<r+s<2s\)؛ با تقسیم بر ۲ داریم \(r<\frac{r+s}{2}<s\). اگر \(r=\frac{a}{b}\) و \(s=\frac{c}{d}\) باشد، نقطهٔ وسط برابر \(\frac{ad+bc}{2bd}\) است، یعنی خارج‌قسمت دو عدد صحیح با مخرج ناصفر. ∎
یک عدد گویا بین \(\frac13\) و \(\frac12\) پیدا کنید.
\[\frac{1}{2}\left(\frac13+\frac12\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{12}\]
\(\frac18=0.125\) پایان می‌یابد، اما \(\frac17=0.\overline{142857}\) یک بلوک شش‌رقمی را تکرار می‌کند. لغزنده‌های بالا را روی ۱ و ۷ بگذارید تا آن را ببینید.
نمایش اعشاری هر عدد گویا یا پایان می‌یابد (مانند \(0.75\)) یا تا بی‌نهایت تکرار می‌شود (مانند \(0.\overline{3}\))، زیرا در تقسیم طولی فقط تعداد محدودی باقی‌مانده پیش می‌آید.
تمرین‌ها
عدد \(0.\overline{36}\) را به صورت کسری ساده‌شده بنویسید.
نمایش پاسخ
فرض کنید \(x=0.3636\ldots\). آنگاه \(100x=36.3636\ldots\). با تفریق، \(99x=36\) و در نتیجه \(x=\frac{36}{99}=\frac{4}{11}\).
کدام بزرگ‌تر است: \(\frac58\) یا \(\frac{7}{11}\)؟
نمایش پاسخ
\(5\cdot 11=55\) و \(8\cdot 7=56\). چون ۵۵ کوچک‌تر از ۵۶ است، \(\frac58<\frac7{11}\).
حاصل \(\frac12+\left(-\frac23\right)\) را بیابید.
نمایش پاسخ
\(\frac{1\cdot 3+2\cdot(-2)}{6}=\frac{-1}{6}=-\frac16\)
یک عدد گویا بین \(\frac25\) و \(\frac37\) بیابید.
نمایش پاسخ
نقطهٔ وسط را بگیرید: \(\frac12\left(\frac{14}{35}+\frac{15}{35}\right)=\frac{29}{70}\).
عدد \(0.\overline{7}\) را به صورت کسر بنویسید.
نمایش پاسخ
فرض کنید \(x=0.777\ldots\). آنگاه \(10x-x=7\) و در نتیجه \(x=\frac79\).
آیا صفر عددی گویا است؟ آیا \(\frac10\) گویا است؟
نمایش پاسخ
بله: \(0=\frac01\). خیر: تقسیم بر صفر تعریف نشده است، پس \(\frac10\) اصلاً عدد نیست.
جمع‌بندی
- عدد گویا کسری از دو عدد صحیح با مخرج ناصفر است.
- نمایش اعشاری آن پایان می‌یابد یا تکرار می‌شود.
- بین هر دو عدد گویا، عددی دیگر و در واقع بی‌نهایت عدد گویا وجود دارد.