اعداد حقیقی
اهداف یادگیری
- عدد گنگ و مجموعهٔ اعداد حقیقی را تعریف کنید.
- ثابت کنید \(\sqrt2\) گنگ است.
- توضیح دهید اعشار چگونه اعداد گویا و گنگ را از هم جدا می‌کند.
- ریشهٔ دوم اعداد را بین دو عدد صحیح و دو رقم اعشاری متوالی تخمین بزنید.
عددی که کسر نیست
مثلث قائم‌الزاویه‌ای که طول هر دو ضلع قائمه‌اش ۱ است، وتری به طول \(c\) دارد که در این رابطه صدق می‌کند:
پس \(c=\sqrt2\approx 1.41421\). آیا \(\sqrt2\) یک کسر است؟ یونانیان باستان دریافتند که نیست.
عدد حقیقی گنگ است اگر گویا نباشد، یعنی نتوان آن را به شکل \(\frac{a}{b}\) با \(a,b\) صحیح و \(b\neq 0\) نوشت. مجموعهٔ اعداد حقیقی که با \(\mathbb{R}\) نشان داده می‌شود، همهٔ اعداد گویا و گنگ را در بر می‌گیرد و دقیقاً با نقاط محور اعداد متناظر است.
عدد \(\sqrt2\) گنگ است.
نمایش اثبات
فرض کنید \(\sqrt2=\frac{a}{b}\) که \(a\) و \(b\) عدد صحیح‌اند و عامل مشترکی ندارند. با به توان دو رساندن، \(a^2=2b^2\) و پس \(a^2\) زوج است. مربع هر عدد فرد، فرد است؛ بنابراین خود \(a\) زوج است: \(a=2k\). آنگاه \(4k^2=2b^2\) یعنی \(b^2=2k^2\) و در نتیجه \(b\) هم زوج است. اکنون \(a\) و \(b\) هر دو زوج‌اند و این با نداشتن عامل مشترک تناقض دارد. پس \(\sqrt2\) گویا نیست. ∎
خلاف حکم را فرض کردیم، پیامدهای آن را دنبال کردیم و به وضعیتی ناممکن رسیدیم. این روش، برهان خلف نام دارد.
اعداد \(\sqrt3,\ \sqrt5,\ \sqrt{10}\) و \(\pi\) گنگ‌اند، اما \(\sqrt4=2\) و \(\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac34\) گویا هستند.
برای عدد صحیح مثبت \(n\)، عدد \(\sqrt n\) گنگ است مگر آنکه \(n\) مربع کامل باشد.
اعشار اعداد حقیقی
هر عدد حقیقی نمایش اعشاری دارد. عدد دقیقاً وقتی گویا است که اعشار آن پایان یابد یا تکرار شود. اعشار عدد گنگ هرگز پایان نمی‌یابد و هرگز تکرار نمی‌شود:
عدد \(0.1010010001\ldots\) (تعداد صفرها هر بار یکی بیشتر می‌شود) هرگز تکرار نمی‌شود، پس گنگ است.
هیچ عدد اعشاری با تعداد محدود رقم برابر \(\sqrt2\) نیست. مقداری مانند ۱٫۴۱۴۲۱ فقط یک تقریب است.
√2 را روی محور اعداد بیابید
لغزنده‌های زیر کسرهای \(\frac pq\) را با صورت و مخرج تا ۶۰ انتخاب می‌کنند. کسرهای \(\frac75\)، \(\frac{17}{12}\) و \(\frac{41}{29}\) را امتحان کنید: اعشار هر کدام به \(\sqrt2\approx 1.41421\) نزدیک‌تر است، اما هیچ کسری دقیقاً برابر آن نیست.
\(\sqrt7\) بین کدام دو عدد صحیح و سپس بین کدام دو رقم اعشاری است؟
چون \(2^2=4<7<9=3^2\)، داریم \(2<\sqrt7<3\). سپس \(2.6^2=6.76<7<7.29=2.7^2\) و در نتیجه \(2.6<\sqrt7<2.7\).
نشان دهید \(1+\sqrt2\) گنگ است.
فرض کنید \(1+\sqrt2=\frac ab\). آنگاه \(\sqrt2=\frac ab-1=\frac{a-b}{b}\) گویا می‌شد و این با قضیه تناقض دارد. پس \(1+\sqrt2\) گنگ است.
تمرین‌ها
هر عدد را گویا یا گنگ دسته‌بندی کنید: \(0.25,\ \sqrt{16},\ \sqrt{10},\ 0.\overline{45},\ \pi\).
نمایش پاسخ
\(0.25=\frac14\)، \(\sqrt{16}=4\) و \(0.\overline{45}=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}\) گویا هستند. \(\sqrt{10}\) (چون ۱۰ مربع کامل نیست) و \(\pi\) گنگ‌اند.
ثابت کنید \(\sqrt3\) گنگ است. راهنمایی: اثبات \(\sqrt2\) را تقلید کنید و از این استفاده کنید که ۳ فقط وقتی \(a^2\) را می‌شمارد که \(a\) را بشمارد.
نمایش پاسخ
فرض کنید \(\sqrt3=\frac ab\) ساده‌شده باشد. آنگاه \(a^2=3b^2\) و پس ۳ عدد \(a^2\) و در نتیجه \(a\) را می‌شمارد؛ بنویسید \(a=3k\). آنگاه \(9k^2=3b^2\) یعنی \(b^2=3k^2\) و ۳ عدد \(b\) را هم می‌شمارد. هم \(a\) و هم \(b\) بر ۳ بخش‌پذیرند و این تناقض است.
دو عدد صحیح متوالی و سپس دو رقم اعشاری متوالی بیابید که \(\sqrt{20}\) بین آن‌ها باشد.
نمایش پاسخ
چون \(4^2=16<20<25=5^2\)، داریم \(4<\sqrt{20}<5\). همچنین \(4.4^2=19.36<20<20.25=4.5^2\) و پس \(4.4<\sqrt{20}<4.5\).
آیا \(2\sqrt2\) گویا است؟ توضیح دهید.
نمایش پاسخ
خیر. اگر \(2\sqrt2=\frac ab\) بود، آنگاه \(\sqrt2=\frac{a}{2b}\) گویا می‌شد و این با قضیه تناقض دارد.
درست یا نادرست: مجموع دو عدد گنگ همیشه گنگ است.
نمایش پاسخ
نادرست: \(\sqrt2+(-\sqrt2)=0\) و صفر گویا است.
یک عدد گویا بین \(\sqrt2\) و \(\sqrt3\) بیابید.
نمایش پاسخ
چون \(\sqrt2\approx1.414\) و \(\sqrt3\approx1.732\)، عدد \(\frac32\) را امتحان کنید: \(\left(\frac32\right)^2=\frac94=2.25\) و \(2<2.25<3\)، پس \(\sqrt2<\frac32<\sqrt3\).
جمع‌بندی
- اعداد گنگ را نمی‌توان به شکل کسر نوشت؛ \(\sqrt2\) مثال کلاسیک آن است.
- اعشار اعداد گویا پایان می‌یابد یا تکرار می‌شود؛ اعشار اعداد گنگ هیچ‌کدام نیست.
- اعداد حقیقی شامل همهٔ اعداد گویا و گنگ‌اند و دقیقاً با نقاط محور اعداد متناظرند.
- برای اثبات گنگ بودن، فرض کنید عدد کسر است و به تناقض برسید.